Question

【题目】已知椭圆方程为，左，右焦点分别为，上顶点为A，是面积为4的直角三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过作直线与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题得解出，即得椭圆的标准方程；

（2）当直线斜率不存在时，易知；当直线斜率存在时，可设直线的方程为，联立椭圆标准方程，利用韦达定理及弦长公式表示出，用点到直线距离公式算出点到直线的距离，则的面积，即可求出最大值.

解：

（1）由已知可得，

解得，.

所以椭圆的标准方程方程为.

（2）设，.

①当直线斜率k不存在时

，，的面积.

②当直线斜率k存在时

可设直线的方程为，联立方程，

消元得，

所以，.

所以

，

点到直线的距离.

所以的面积

，

显然斜率，若时，共线，不能形成.

所以，.

综上所述，.

所以面积的最大值为.