题目内容
【题目】已知椭圆方程为
，左，右焦点分别为
，上顶点为A，
是面积为4的直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过
作直线与椭圆交于P，Q两点，求
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由题得
解出
，即得椭圆的标准方程；
（2）当直线
斜率不存在时，易知
；当直线斜率存在时，可设直线的方程为
，联立椭圆标准方程，利用韦达定理及弦长公式表示出
，用点到直线距离公式算出点
到直线
的距离
，则
的面积
，即可求出最大值.
解：
（1）由已知可得，
解得
，
.
所以椭圆的标准方程方程为.
（2）设
，
.
①当直线斜率k不存在时
，
，的面积
.
②当直线斜率k存在时
可设直线的方程为，联立方程
，
消元得
，
所以
，
.
所以
，
点到直线的距离.
所以的面积
，
显然斜率
，若
时，
共线，不能形成
.
所以
，
.
综上所述，
.
所以面积的最大值为.
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