题目内容

13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2=a2+bc,A=$\frac{π}{6}$,则内角C=$\frac{π}{4}$.

分析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos$\frac{π}{6}$,而b2=a2+bc,可得c=($\sqrt{3}$-1)b,a2=(2-$\sqrt{3}$)b2,再利用余弦定理即可得出.

解答 解:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos$\frac{π}{6}$=b2+c2-$\sqrt{3}$bc,
∵b2=a2+bc,
∴bc+c2-$\sqrt{3}$bc=0,
解得c=($\sqrt{3}$-1)b,
a2=b2-bc=(2-$\sqrt{3}$)b2,可得:a=$\sqrt{2-\sqrt{3}}$b,
∴解得:cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2-\sqrt{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{2(2-\sqrt{3})}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵c<b,
∴C为锐角,C=$\frac{π}{4}$.
故答案为:$\frac{π}{4}$.

点评 本题考查了余弦定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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