题目内容
【题目】设
，
为所有满足下列条件的整数数列
的个数：
（1）
，
，且
；
（2）不存在
、
，使得
.
试求
的值.
【答案】2012
【解析】
将长度为
的圆周等分成份，分点依次标为0，1，…，.再将标
的分点染为黑色，其他
个分点染为白色.则题设数列与以下染法一一对应：
（1）标0的点为黑点，且黑点将圆周分成段圆弧，每段弧长为1或2或3；
（2）圆周上没有两个黑点为对径点，即黑点与白点一一对应，组成对径点.
显然，不存在相邻的三个黑点.否则，设
、
、
为相邻黑点.则其对径点
、
、
为相邻白点，但包含这三个白点的弧长大于3，矛盾.
从而，满足（1）、（2）的染法为标0的点为黑色，将
各点染黑、白两色，使得其中没有相邻的三个点同色，再对应地将
点染色（
染黑色
染白色）.
首先，对长为
的圆弧各分点染两色，使得两端点为黑色，且没有相邻的三个点同色.
设其染法个数为
.易知，
，
，
.
对
，考虑最后一段以黑点为端点的圆弧.
若其弧长为3，则相应染法个数为
；
若其弧长为2，则相应染法个数为
；
若其弧长为1，则其相邻的弧长为2或3，其染法个数为
.
故
.
下面求满足（1）、（2）的染法个数
.
若点
为黑色，则染法个数为
.
若点为白色，而为白色，则
、
为黑色，1为白色.如果2为黑色，则染法个数为
；如果2为白色，则3为黑色，染法个数为
.从而，
.①
逐项计算得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
由式①得
，
，
.
故
.
【题目】为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：
，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求
的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
男生 | 40 | ||
女生 | 50 | ||
合计 | 100 |
参考公式及数据：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付方式 | （0,1000] | （1000,2000] | 大于2000 |
仅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
仅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
