如图.一楼房高AB为19$\sqrt{3}$米.某广告公司在楼顶安装一块宽BC为4米的广告牌.CD为拉杆.广告牌的倾角为60°.安装过程中.一身高为$\sqrt{3}$米的监理人员EF站在楼前观察该广传牌的安装效果:为保证安全.该监理人员不得站在广告牌的正下方:设AE=x米.该监理人员观察广告牌的视角∠BFC=θ．(1)试将tanθ表示为x的函数, (2)求点E� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，一楼房高AB为19$\sqrt{3}$米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC为4米的广告牌，CD为拉杆，广告牌的倾角为60°，安装过程中，一身高为$\sqrt{3}$米的监理人员EF站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设AE=x米，该监理人员观察广告牌的视角∠BFC=θ．
（1）试将tanθ表示为x的函数；
（2）求点E的位置，使θ取得最大值．

分析（1）通过作CG⊥AE于G，则FH⊥AB于H，交CG于M，作BN⊥CG于N，则θ=∠CFM-∠BFH，利用锐角的正切的定义可知在Rt△CFM中tan∠CFM=$\frac{20\sqrt{3}}{x-2}$、在Rt△BFH中tan∠BFH=$\frac{18\sqrt{3}}{x}$，利用差角的正切公式计算即得结论；
（2）通过（1）可知，tanθ=$2\sqrt{3}$•$\frac{x+18}{{x}^{2}-2x+1080}$，通过令t=x+18，换元计算可知tanθ=$\frac{2\sqrt{3}}{t+\frac{1440}{t}-38}$，进而利用基本不等式计算即得结论．

解答解：（1）作CG⊥AE于G，则FH⊥AB于H，交CG于M，
作BN⊥CG于N，则θ=∠CFM-∠BFH，
在Rt△BCN中，BC=4，∠CBN=60°，则BN=2，CN=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CFM中，有tan∠CFM=$\frac{CM}{MF}$=$\frac{CN+NM}{AE-BN}$=$\frac{20\sqrt{3}}{x-2}$；
在Rt△BFH中，有tan∠BFH=$\frac{BH}{HF}$=$\frac{18\sqrt{3}}{x}$；
∴tanθ=tan（∠CFM-BFH）=$\frac{tan∠CFM-tan∠BFH}{1+tan∠CFM•tan∠BFH}$
=$\frac{\frac{20\sqrt{3}}{x-2}-\frac{18\sqrt{3}}{x}}{1+\frac{20\sqrt{3}}{x-2}•\frac{18\sqrt{3}}{x}}$=$\frac{2\sqrt{3}x+36\sqrt{3}}{{x}^{2}-2x+1080}$，
依题意，监理人员只能在G点右侧，即x∈（2，+∞）；
（2）由（1）可知，tanθ=$\frac{2\sqrt{3}x+36\sqrt{3}}{{x}^{2}-2x+1080}$=$2\sqrt{3}$•$\frac{x+18}{{x}^{2}-2x+1080}$，
令t=x+18，则t∈（20，+∞），
故tanθ=$2\sqrt{3}$•$\frac{t}{（t-18）^{2}-2（t-18）+1080}$=$\frac{2\sqrt{3}}{t+\frac{1440}{t}-38}$≤$\frac{\sqrt{3}}{12\sqrt{10}-19}$，
当且仅当t=$\frac{1440}{t}$即t=$12\sqrt{10}$时取等号，此时，x=$12\sqrt{10}$-18，
又∵θ为锐角，y=tanθ在区间（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
∴当x=$12\sqrt{10}$-18时，θ取得最大值．