Question

14．已知x、y满足y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，则使x+2y+2a＜0恒成立的a的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{5}-4$，$\sqrt{5}+4$]
• B． （-∞，-5]
• C． [-5，+∞）
• D． （-∞，-5）

Answer 1

分析 两边平方，求得y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$即为（x-2）²+（y-3）²=4，（2≤y≤3），表示圆心为（2，3），半径为2的下半圆，x+2y+2a＜0，表示直线x+2y+2a=0下方的区域，平移直线x+2y-10=0，即可得到所求a的范围．

解答 解：y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}}$即为
（x-2）²+（y-3）²=4，（2≤y≤3），
表示圆心为（2，3），半径为2的下半圆，
x+2y+2a＜0，表示直线x+2y+2a=0下方的区域，
如图所示：
当直线x+2y+2a=0经过点（4，3）时，
4+6+2a=0，解得a=-5．
当直线x+2y-10=0向上平移，
都有x+2y+2a＜0恒成立，
即有2a＜-10，解得a＜-5．
故选：D．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意结合图象以及二元不等式表示的区域，属于中档题．