Question

17．已知f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$），f（0）=0，且函数f（x）图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求g（x）在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的正弦公式化简f（x）的解析式，由周期求出ω，由f（0）=0求出φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（$\frac{π}{8}$）的值．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g（x）在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的最值．

解答 解：（1）f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$），
故 $\frac{2π}{ω}$=2×$\frac{π}{2}$，求得ω=2．
再根据f（0）=sin（φ+$\frac{π}{4}$）=0，0＜|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{4}$，
故 f（x）=$\sqrt{2}$sin2x，f（$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$=1．
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到函数y=g（x）=$\sqrt{2}$sin2（x-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象．
∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最大值为$\sqrt{2}$；
当2x-$\frac{π}{3}$=0时，g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最小值为0．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f（0）=0求出φ的值，可得f（x）的解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．