Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°．

（1）证明：AB⊥A1C；
（2）若AB=CB=2，A1C= ，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，

∵AB=AA1，∠BAA1=60°，

∴△A1AB为正三角形，

∴A1O⊥AB，

∵CA=CB，∴CO⊥AB，

∵CO∩A1O=O，

∴AB⊥平面COA1，

∵A1C平面COA1，

∴AB⊥A1C．

（2）解：∵AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，∠BAA1=60°，

∴CO=A1O= = ，

∵A1C= ，

∴ = ，

∴OC⊥A1O，

∵OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC，

建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，

O（0，0，0），A（1，0，0）， ，C（0，0， ），

设平面AA1C的法向量为 ，

则 ， ，

∴ ，

∴ =（ ，1，1），

平面向量ACB的法向量 =（0，1，0），

cos＜ , ＞= = ．

∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为 ．

【解析】（1）取AB中点O，连CO，OA1 ， A1B，由题设条件推导出△A1AB为正三角形，从而得到A1O⊥AB，由CA=CB，得到CO⊥AB，由此能够证明AB⊥A1C．（2）以OA为x轴，以OA1为y轴，以OC为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AC=A1的余弦值．