题目内容
【题目】如图所示,正方形与直角梯形
所在平面互相垂直,
,
,
.
(I)求证: 平面
.
(II)求证: 平面
.
(III)求四面体的体积.
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】试题分析:(1)欲证AC⊥平面BDE,只需证明AC垂直平面BDE中的两条相交直线即可,因为AC与BD是正方形ABCD的对角线,所以AC⊥BD,再正DE垂直AC所在的平面,得到AC垂直DE,而BD,DE是平面BDE中的两条相交直线,问题得证.
(2)欲证AC∥平面BEF,只需证明AC平行平面BEF中的一条直线即可,利用中位线的性质证明OG平行DE且等于DE的一半,根据已知AF平行DE且等于DE的一半,所以OG与AF平行且相等,就可得到AC平行FG,而FG为平面BEF中的一条直线,问题得证.
(3)四面体BDEF可以看做以△DEF为底面,以点B为顶点的三棱锥,底面三角形DEF的底边DE=2,高DA=2,三棱锥的高为AB,长度等于2,再代入三棱锥的体积公式即可.
()因为平面
平面
,
,
即,所以
平面
,
因为平面
,所以
,
因为是正方形,所以
,
,所以
平面
.
()设
,取
中点
,连接
、
,如下图:
所以平行且等于
,
因为,
,
所以平行且等于
,从而四边形
是平行四边形,
,因为
平面
,
平面
,所以
平面
,
即平面
.
()
,
,
因此四面体的体积
.
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