题目内容
7.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.则异面直线OB与MD所成角余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$.分析 取AB中点N,连接MN,由三角形中位线定理得MN∥OB,则∠DMN为异面直线OB与MD所成角,然后通过求解直角三角形得到△DMN的三边长,再由余弦定理得答案.
解答 解:如图,
取AB中点N,连接MN,
又M为OA的中点,∴MN∥OB,则∠DMN为异面直线OB与MD所成角,
∵底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,
可得DM=$\sqrt{5}$,MN=$\sqrt{2}$,DN=$\sqrt{5}$.
在△DMN中,cos∠DMN=$\frac{(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
故答案为:$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$.
点评 本题考查异面直线及其所成的角,考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力.在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧,这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线,如果试题的已知中涉及到多个中点,则找中点是出现平行线的关键技巧,是中档题.
练习册系列答案
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