Question

15．设函数f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+b，a，b∈R．
（1）若函数y=f（x）-2为奇函数，且函数f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，方程f（x）=$\frac{1}{2}$x在区间（$\frac{1}{2}$，2]有两个不同的实数根，求实数b的最小值；
（3）若对任意的实数b，都存在实数x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得不等式|f（x₀）|≥$\frac{1}{2}$成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数g（x）=f（x）-2为奇函数得到b，利用其单调性得到求出a值；
（2）把a=1代入f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+b，方程f（x）=$\frac{1}{2}$x化简得x²+2bx+2=0，则在区间[$\frac{1}{2}$，2]有两个不同的实数根，利用根与系数的关系得到关于b的不等式组解之．
（3）由f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+b，得$f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}+a$=$\frac{a{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，判断函数f（x）的单调性，由题意，讨论得到a的范围

解答 解：（1）由题意得，函数y=f（x）-2=$\frac{1}{x}$+ax+b-2，
令g（x）=f（x）-2为奇函数，∴g（-x）=-g（x），
即-$\frac{1}{x}$-ax+b-2=-（$\frac{1}{x}$+ax+b-2），解得b=2，
由f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+2得，f′（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}+a$，
∵函数f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
∴f′（1）=-1+a=0，解得a=1，
∴f（x）=$\frac{1}{x}$+x+2；
（2）把a=1代入f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+b得，f（x）=$\frac{1}{x}$+x+b，
则方程f（x）=$\frac{1}{2}$x为：$\frac{1}{x}$+x+b=$\frac{1}{2}$x，化简得x²+2bx+2=0，
∵方程f（x）=$\frac{1}{2}$x在区间[$\frac{1}{2}$，2]有两个不同的实数根，
∴x²+2bx+2=0在区间[$\frac{1}{2}$，2]有两个不同的实数根，
则$\left\{\begin{array}{l}{△=4{b}^{2}-8＞0}\\{\frac{1}{2}＜-b＜2}\\{（\frac{1}{2}）^{2}+2b×\frac{1}{2}+2＞0}\\{{2}^{2}+2b×2+2≥0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{3}{2}≤b＜-\sqrt{2}$，
∴实数b的最小值是$-\frac{3}{2}$；
（3）由f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+b，得$f′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}+a$=$\frac{a{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）≤0，得a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$，所以a≤$\frac{1}{4}$，此时f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上为减函数，
要使对任意的实数b，都存在实数x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得不等式|f（x₀）|≥$\frac{1}{2}$成立，只要f（x₀）≥$\frac{1}{2}$或者f（x₀）≤-$\frac{1}{2}$
所以只要f（x）的最大值为f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$a+b$≥\frac{1}{2}$或者f（2）=$\frac{1}{2}$+2a+b$≤-\frac{1}{2}$．
解得a$≤\frac{1}{3}$．，又a≤$\frac{1}{4}$，
所以a≤$\frac{1}{4}$；
由f′（x）≥0，由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，得a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$，得到a≥4，此时f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上为增函数，
要使对任意的实数b，都存在实数x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得不等式|f（x₀）|≥$\frac{1}{2}$成立，
只要f（x₀）≥$\frac{1}{2}$或者f（x₀）≤-$\frac{1}{2}$
所以只要f（x）的最大值为f（2）=$\frac{1}{2}$+2a+b$≥\frac{1}{2}$或者f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$a+b$≤-\frac{1}{2}$．
解得a≥$\frac{5}{3}$，又a≥4，
所以a≥4；
综上a≥4或者a≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数的单调性，最值与导数的关系，和存在性问题的转化，属于压轴题，难题