Question

8．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$．
（1）求$\frac{1}{{a}_{1}-1}$的值；
（2）证明：数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）直接由a₁=$\frac{3}{2}$求得$\frac{1}{{a}_{1}-1}$的值；
（2）由已知数列递推式可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以2为首项，以1为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式得答案．

解答 （1）解：∵a₁=$\frac{3}{2}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}=\frac{1}{\frac{3}{2}-1}=2$；
（2）证明：∵a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$，∴${a}_{n}=\frac{2{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}（n≥2）$，
∴${a}_{n}-1=\frac{2{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}-1=\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}=\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}=\frac{（{a}_{n-1}-1）+1}{{a}_{n-1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}+1（n≥2）$．
即$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}=1（n≥2）$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以2为首项，以1为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{a}_{n}-1}=2+1×（n-1）=n+1$，
∴${a}_{n}=\frac{n+2}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．