题目内容

18.椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1有公共的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则cos∠F1PF2=$\frac{1}{3}$.

分析 不妨设点P在第一象限,再根据椭圆、双曲线的定义和性质,可得|PF1|+|PF2|=2$\sqrt{6}$,|PF1|-|PF2|=2$\sqrt{3}$,求得|PF1|和|PF2|的值,根据|F1F2|=4,利用余弦定理可得cos∠F1PF2的值.

解答 解:由题意可得焦点F1(2,0)、F2(-2,0),∴3+b2=4,求得b2=1,
双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,即双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y2=1.
不妨设点P在第一象限,
再根据椭圆、双曲线的定义和性质,可得|PF1|+|PF2|=2$\sqrt{6}$,|PF1|-|PF2|=2$\sqrt{3}$,
可得|PF1|=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$,|PF2|=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$,且|F1F2|=4.
再由余弦定理可得cos∠F1PF2=$\frac{{{PF}_{1}}^{2}{+{PF}_{2}}^{2}{{{-F}_{1}F}_{2}}^{2}}{2{PF}_{1}•{PF}_{2}}$=$\frac{{(\sqrt{6}+\sqrt{3})}^{2}{+(\sqrt{6}-\sqrt{3})}^{2}{-4}^{2}}{2(\sqrt{6}+\sqrt{3})•(\sqrt{6}-\sqrt{3})}$=$\frac{1}{3}$,
故答案为:$\frac{1}{3}$.

点评 本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程,余弦定理的应用,属于中档题.

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