Question

设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）＞0．则下列不等式不一定成立的是（　　）

• A、f（a）＞f（0）
• B、f(

  1+a

  2

  )＞f(

  a

  )
• C、f(

  1-3a

  1+a

  )＞f(-3)
• D、f(

  1-3a

  1+a

  )＞f(-a)

Answer 1

分析：根据题中的2个条件可以判断函数f（x）是奇函数，且在[1，a]上是个增函数，所以，要比较2个函数值的大小，
要看自变量的范围，再利用函数的单调性得出结论．

解答：解：∵①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，∴函数f（x）是奇函数，
∵②对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁）＞0，
∴函数f（x）在区间[1，a]上是单调增函数．
∵a＞1，故选项A、f（a）＞f（0）一定成立．
∵

1+a

2

＞

a

，故选项B、f（

1+a

2

）＞f（a）一定成立．
∵

1-3a

1+a

-（-a）=

(a-1)2

1+a

＞0，∴

1-3a

1+a

＞-a，∴a＞

3a-1

1+a

=3-

4

a+1

≥1，
∴f（a）＞f（

3a-1

1+a

），两边同时乘以-1可得-f（a）＜-f（

3a-1

1+a

），即f（

1-3a

1+a

）＞f（-a），
故选项D一定成立．

1-3a

1+a

-（-3）=

4

1+a

＞0，∴

1-3a

1+a

＞-3，∴3＞

3a-1

1+a

＞0，但不能确定3和

3a-1

1+a

 是否在区间[1，a]上，
故f（3）和f（

3a-1

1+a

）的大小关系不确定，故f（

1-3a

1+a

） 与f（-3）的大小关系不确定，故C不一定正确．
故答案选  C．

点评：本题考查抽象函数及其应用，从条件判断函数的奇偶性和单调性，依据单调性分析各选项是否一定成立，属于中档题．