题目内容

(本题满分14分),函数

(Ⅰ)证明:存在唯一实数,使

(Ⅱ)定义数列:,,

(i)求证:对任意正整数n都有

(ii) 当时, 若

证明:当k时,对任意都有:

 

【答案】

(Ⅰ)证明:略

 

【解析】(Ⅰ)证明: ①.       ………1分

,则,,

.                               ………………………………… 2分

,∴R上的增函数.    …………………… 3分

在区间上有唯一零点,

即存在唯一实数使.           ………………………………… 4分

②当时, ,,由①知,即成立;…… 5分

设当时, ,注意到上是减函数,且,

故有:,即

,                    ………………………………… 7分

.这就是说,时,结论也成立.

故对任意正整数都有:.            ………………………………… 8分

(2)当时,由得:,     ……………… 9分

………10分

时,,

    ………………………………… 12分

,

    ………………………………… 13分

    ………………… 14分

 

 

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