题目内容
已知定点A(－2，－4)，过点A作倾斜角为45 的直线l，交抛物线y2＝2px(p＞0)于B、C两点，且|BC|＝210．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
(Ⅰ) y2＝2x． (Ⅱ) 见解析
(Ⅰ)直线l方程为y＝x－2，将其代入y2＝2px，并整理，得
x2－2(2＋p)x＋4＝0…①，∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，
设B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1＋x2＝4＋2p，x1·x2＝4，∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k2|x1－x2|，
∴22p2＋4p＝210，解得p＝1，∴抛物线方程y2＝2x．
(Ⅱ)假设在抛物线y2＝2x上存在点D(x3,y3)，使得|DB|＝|DC|成立，
记线段BC中点为E(x0,y0)，则|DB|＝|DC| DE⊥BC kDE＝－1k1＝－1，
当p＝1时，①式成为x2－6x＋4＝0，∴x0＝x1＋x22＝3，y0＝x0－2＝1，
∴点D(x3,y3)应满足 y23＝2x3y3－1x3－3＝－1，解得 x3＝2y3＝2或 x3＝8y3＝－4．
∴存在点D(2，2)或(8，－4)，使得|DB|＝|DC|成立．
x2－2(2＋p)x＋4＝0…①，∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，
设B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1＋x2＝4＋2p，x1·x2＝4，∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k2|x1－x2|，
∴22p2＋4p＝210，解得p＝1，∴抛物线方程y2＝2x．
(Ⅱ)假设在抛物线y2＝2x上存在点D(x3,y3)，使得|DB|＝|DC|成立，
记线段BC中点为E(x0,y0)，则|DB|＝|DC| DE⊥BC kDE＝－1k1＝－1，
当p＝1时，①式成为x2－6x＋4＝0，∴x0＝x1＋x22＝3，y0＝x0－2＝1，
∴点D(x3,y3)应满足 y23＝2x3y3－1x3－3＝－1，解得 x3＝2y3＝2或 x3＝8y3＝－4．
∴存在点D(2，2)或(8，－4)，使得|DB|＝|DC|成立．
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的一条准线方程是
其左、右顶点分别是A、B；双曲线
的一条渐近线方程为3x－5y=0.
. 求证：
.P为椭圆上的动点,
、
，
：
？
与椭圆
相切。 （I）试将
用
表示出来； （Ⅱ）若经过动点
可以向椭圆引两条互相垂直的切线，
为坐标原点，求证：
为定值。
）。设
与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若
。
与轨迹G交于不同两点M、N。问在x轴上是否存在一点
，使△MNE为正三角形。若存在求出
值；若不存在说明理由。
，
分别是椭圆
（a＞b＞0）的左右焦点，M为椭圆上一点，
垂直于x轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行。
（1）求椭圆的离心率；
取值范围；
。
的离心率是
，则双曲线
的离心率是___________