题目内容
【题目】数列的前
项1,3,7,
,
(
)组成集合
,从集合
中任取
(
)个数,其所有可能的
个数的乘积的和为
(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记
.例如:当
时,
,
,
;
时,
,
,
,
.
(1)当时,求
,
,
,
的值;
(2)证明:时集合
的
与
时集合
的
(为以示区别,用
表示)有关系式
(
,
);
(3)试求(用
表示).
【答案】(1),
,
,
(2)见解析(3)
【解析】
(1)当时,得出
,根据定义得出
、
、
的值,可计算出
的值;
(2)当时,集合
有
个元素,比
时的集合
多了一个元素;
,对应的
包含两个部分:(i)若
不含
,则
中的任何一项恰好为
时集合
的对应的
中的一项;(ii)若
中含
的任何一项,除了
,其余的
个数均来自集合
,这
个数的乘积恰好为集合
所对应的
中的一项,即可证明;
(3)由,
,
,猜想
,下面利用数学归纳法进行即可.
(1)当时,
,
,
,
,
(2)证明:当时,集合
有
个元素,比
时的集合
多了一个元素:
.∴对应的
包含两个部分:
若中不含
,则
中的任何一项恰好为
时集合
的对应的
中的一项.
若中含
的任何一项,除了
,其余的
个数均来自集合
,这
个数的乘积恰好为集合
所对应的
中的一项.
∴有关系式
(3)解:由,
,
,
猜想.下面证明:(i)易知
时成立.
(ii)假设时,
,
则时,
(其中,
,2,…,k,为
时可能的k个数的乘积的和为
,
,即
时,
也成立,
综合(i)(ii)知对,
成立.
∴.
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练习册系列答案
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月数 | … | ||||
污染度 | … |
污染度为后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:
,
,
,其中
表示月数,
、
、
分别表示污染度.
(1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;
(2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过.