题目内容
【题目】数列的前项1,3,7,,()组成集合,从集合中任取()个数,其所有可能的个数的乘积的和为(若只取一个数,规定乘积为此数本身),记.例如:当时,,,;时,,,,.
(1)当时,求,,,的值;
(2)证明:时集合的与时集合的(为以示区别,用表示)有关系式(,);
(3)试求(用表示).
【答案】(1),,,(2)见解析(3)
【解析】
(1)当时,得出,根据定义得出、、的值,可计算出的值;
(2)当时,集合有个元素,比时的集合多了一个元素;
,对应的包含两个部分:(i)若不含,则中的任何一项恰好为时集合的对应的中的一项;(ii)若中含的任何一项,除了,其余的个数均来自集合,这个数的乘积恰好为集合所对应的中的一项,即可证明;
(3)由,,,猜想,下面利用数学归纳法进行即可.
(1)当时,,
,,,
(2)证明:当时,集合有个元素,比时的集合多了一个元素:.∴对应的包含两个部分:
若中不含,则中的任何一项恰好为时集合的对应的中的一项.
若中含的任何一项,除了,其余的个数均来自集合,这个数的乘积恰好为集合所对应的中的一项.
∴有关系式
(3)解:由,,,
猜想.下面证明:(i)易知时成立.
(ii)假设时,,
则时,
(其中,,2,…,k,为时可能的k个数的乘积的和为,
,即时,也成立,
综合(i)(ii)知对,成立.
∴.
【题目】某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为,整治后前四个月的污染度如下表:
月数 | … | ||||
污染度 | … |
污染度为后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:,,,其中表示月数,、、分别表示污染度.
(1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;
(2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过.