题目内容
【题目】如图1，在平面四边形
中，
，现将
沿四边形的对角线
折起，使点
运动到点
，如图2，这时平面
平面
.
（1）求直线
与平面所成角的正切值；
（2）求二面角
的正切值.
【答案】（1）
；（2）2.
【解析】
解法一：（几何方法）
（1）过
向
做垂线，垂足为
，连接
，通过线面垂直的证明得到
在平面
内射影为，再根据长度关系计算出
的值即为直线与平面所成角的正切值；
（2）利用中点
，过点做
，垂足为
，连接
，通过证明得到二面角的平面角为
，再计算出
的值即为二面角的正切值；
解法二：（向量方法）
（1）建立合适的空间直角坐标系，求解出平面的法向量并计算出线面角的正弦，由此可计算出线面角的正切值；
（2）计算出平面
的法向量和平面
的法向量，根据两个向量的余弦值计算出二面角的余弦值，即可求解出二面角的正切值.
解法一：（1）
，
，
，
，
为正三角形，
过点向做垂线，垂足为，连接，
平面
平面，为交线，
平面，
为在平面内射影，
就是直线与平面所成角，
在直角三角形
中，
，
，
，
，
，
设为中点，连接
，易知
，
且为
中点，
在直角三角形
中，
，
，
，
又
平面，且
平面，
，
，
直线与平面所成角的正切值为.
（2）平面平面，为交线，且，
平面，
过点做，垂足为，连接，
，
，
平面
，
，
就是二面角
的平面角，
在直角三角形中，，
，
，
二面角的正切值为2.
解法二：
为正三角形，
设为中点，则
，
在平面
内，过点作垂直于的直线
.
平面平面，
以为坐标原点，
为
轴，
为
轴，直线为
轴，建立如图所示空间直角坐标系.
由平面几何知识，易得，
，
，
（1）
又
轴
平面，
可取
为平面的法向量.
设直线与平面所成的角为
，
则
直线与平面所成的正切值为.
（2）设平面的法向量为
.
，
，即
，
令
，得
，
又平面的法向量为
，
，
，
，
二面角的正切值为2.
名校课堂系列答案【题目】某校共有学生2000人，其中男生1100人，女生900人为了调查该校学生每周平均课外阅读时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均课外阅读时间（单位：小时）
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）如图，根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为
.若在样本数据中有38名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时，请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”.
男生 | 女生 | 总计 | |
每周平均课外阅读时间不超过2小时 | |||
每周平均课外阅读时间超过2小时 | |||
总计 |
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
