Question

9．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（b＞0）的图象在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y-1=0垂直，且函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上是单调递增，则b的最大值等于$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a-b=2，再由题意可得a-$\frac{b}{{x}^{2}}$≥0在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，即有$\frac{b}{a}$≤x²的最小值，解b的不等式即可得到最大值．

解答 解：函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$（b＞0）的导数为f′（x）=a-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
在点P（1，f（1））处的切线斜率为k=a-b，
由切线与直线x+2y-1=0垂直，可得k=a-b=2，即a=b+2，
由函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上是单调递增，可得
a-$\frac{b}{{x}^{2}}$≥0在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即有$\frac{b}{a}$≤x²的最小值，
由x≥$\frac{1}{2}$可得x²的最小值为$\frac{1}{4}$．
即有$\frac{b}{b+2}$≤$\frac{1}{4}$，由b＞0，可得b≤$\frac{2}{3}$．
则b的最大值为$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查两直线垂直的条件和不等式恒成立恒成立问题的解法，属于中档题．