Question

12．若?x₁，x₂，x₃∈D，都有f（x₁）+f（x₂）≥f（x₃），则称f（x）为区间D上的等差函数．若函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+m为区间[0，2]上的等差函数，则m的取值范围[-$\frac{11}{12}$，+∞）．

Answer 1

分析 （$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x=t，由x得范围求得t的范围，得到函数f（x）的最值，结合新定义可得2f（x）_min≥f（x）_max，由此求得m的取值范围．

解答 解：f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+m
=$\frac{1}{1-（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{4}）^{x}}+$（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+m，
令（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x=t，
∵x∈[0，2]，∴t=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x=$[（\frac{1}{2}）^{x}]^{2}-（\frac{1}{2}）^{x}$∈[$-\frac{1}{4}，0$]，
∴t+1∈[$\frac{3}{4}，1$]，
则y=f（x）=$\frac{1}{t+1}+t+m$=$t+1+\frac{1}{t+1}+m$-1，
∴${y}_{min}=m+1，{y}_{max}=\frac{13}{12}+m$．
∵函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+m为区间[0，2]上的等差函数，
∴由等差函数的定义得2（1+m）≥$\frac{13}{12}+m$，解得：m$≥-\frac{11}{12}$．
∴m的取值范围是[-$\frac{11}{12}，+∞$）．
故答案为：[-$\frac{11}{12}，+∞$）．

点评 本题是新定义题，考查利用换元法和函数的单调性求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属有一定难度问题．