Question

4．若不等式mx²-4x+3m+1＞0对正实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由参数分离可得m＞$\frac{4x-1}{{x}^{2}+3}$对x＞0恒成立．令f（x）=$\frac{4x-1}{{x}^{2}+3}$（x＞0），求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，令m大于最大值即可．

解答 解：不等式mx²-4x+3m+1＞0对正实数x恒成立，
即为m＞$\frac{4x-1}{{x}^{2}+3}$对x＞0恒成立．
令f（x）=$\frac{4x-1}{{x}^{2}+3}$（x＞0），
f′（x）=$\frac{-2（2{x}^{2}-x-6）}{（{x}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{-2（2x+3）（x-2）}{（{x}^{2}+3）^{2}}$，
当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增．
即有f（x）在x=2处取得极大值，且为最大值1．
即有m＞1．
则实数m的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，注意运用参数分离和导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．