题目内容

若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a²b+ab²比a³+b³接近 $数学公式$ ．

（1）解：若2x-1比3接近0，则有|2x-1-0|＜|3-0|，
∴|2x-1|＜3，即-3＜2x-1＜3，
解得-1＜x＜2，
故x的取值范围为（-1，2）．
（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b， $\text{[math]}$ ，有a²b+ab²＞ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
又因为|a²b+ab²- $\text{[math]}$ |-| $\text{[math]}$ |=ab（a+b）- $\text{[math]}$ -（a³+b³）+ $\text{[math]}$ =ab（a+b）-（a+b）（a²+b²-ab）=-（a+b）（a-b）²＜0，
所以，|a²b+ab²- $\text{[math]}$ |＜-| $\text{[math]}$ |，即a²b+ab²比a³+b³接近 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）若2x-1比3接近0，则有|2x-1-0|＜|3-0|，即|2x-1|＜3，解绝对值不等式求出x的取值范围．
（2）由基本不等式可得a²b+ab²＞ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用比较法证明|a²b+ab²- $\text{[math]}$ |＜| $\text{[math]}$ |，可得a²b+ab²比a³+b³接近 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用比较法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．

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