题目内容
若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
| ab |
分析：（1）若2x-1比3接近0，则有|2x-1-0|＜|3-0|，即|2x-1|＜3，解绝对值不等式求出x的取值范围．
（2）由基本不等式可得a2b+ab2 ＞2ab
，a3+b3＞2ab
，用比较法证明|a2b+ab2 -2ab
|＜|a3+b3-2ab
|，可得a2b+ab2比a3+b3接近2ab
．
（2）由基本不等式可得a2b+ab2 ＞2ab
| ab |
| ab |
| ab |
| ab |
| ab |
解答：（1）解：若2x-1比3接近0，则有|2x-1-0|＜|3-0|，
∴|2x-1|＜3，即-3＜2x-1＜3，
解得-1＜x＜2，
故x的取值范围为 （-1，2）．
（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b，a+b＞2
，有a2b+ab2 ＞2ab
，a3+b3＞2
=2ab
，即a3+b3＞2ab
．
又因为|a2b+ab2 -2ab
|-|a3+b3-2ab
|=ab（a+b）-2ab
-（a3+b3）+2ab
=ab（a+b）-（a+b）（a2+b2-ab）=-（a+b）（a-b）2＜0，
所以，|a2b+ab2 -2ab
|＜-|a3+b3-2ab
|，即a2b+ab2比a3+b3接近2ab
．
∴|2x-1|＜3，即-3＜2x-1＜3，
解得-1＜x＜2，
故x的取值范围为 （-1，2）．
（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b，a+b＞2
| ab |
| ab |
| a3b3 |
| ab |
| ab |
又因为|a2b+ab2 -2ab
| ab |
| ab |
| ab |
| ab |
所以，|a2b+ab2 -2ab
| ab |
| ab |
| ab |
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用比较法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．
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