题目内容

若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
．
分析：（1）若2x-1比3接近0，则有|2x-1-0|＜|3-0|，即|2x-1|＜3，解绝对值不等式求出x的取值范围．
（2）由基本不等式可得a2b+ab2 ＞2ab
ab
，a3+b3＞2ab
ab
，用比较法证明|a2b+ab2 -2ab
ab
|＜|a3+b3-2ab
ab
|，可得a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
．
解答：（1）解：若2x-1比3接近0，则有|2x-1-0|＜|3-0|，
∴|2x-1|＜3，即-3＜2x-1＜3，
解得-1＜x＜2，
故x的取值范围为 （-1，2）．
（2）证明：对任意两个不相等的正数a、b，a+b＞2
ab
，有a2b+ab2 ＞2ab
ab
，a3+b3＞2
a3b3
=2ab
ab
，即a3+b3＞2ab
ab
．
又因为|a2b+ab2 -2ab
ab
|-|a3+b3-2ab
ab
|=ab（a+b）-2ab
ab
-（a3+b3）+2ab
ab
=ab（a+b）-（a+b）（a2+b2-ab）=-（a+b）（a-b）2＜0，
所以，|a2b+ab2 -2ab
ab
|＜-|a3+b3-2ab
ab
|，即a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
．
点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用比较法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．
若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y靠近m．
（Ⅰ）若x+1比-x靠近-1，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）①对任意x＞0，证明：ln（1+x）比x靠近0；②已知数列{an}的通项公式为an=1+21-n，证明：a1a2a3…an＜2e．
（2012•烟台一模）若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．若x2-1比1远离0，则x的取值范围是
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
(-∞，-
2
)∪(
2
，+∞)
．
若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y更接近m．
（1）若x2比4更接近1，求x的取值范围；
（2）a＞0时，若x2+a比（a+1）x更接近0，求x的取值范围．

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