题目内容
若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
| ab |
（3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．
分析：（1）根据新定义得到不等式|x2-1|＜3，然后求出x的范围即可．
（2）对任意两个不相等的正数a、b，依据新定义写出不等式，利用作差法证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
；
（3）依据新定义写出函数f（x）的解析式，f(x)=
=1-|sinx|，x≠kπ
直接写出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性，即可．
（2）对任意两个不相等的正数a、b，依据新定义写出不等式，利用作差法证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
| ab |
（3）依据新定义写出函数f（x）的解析式，f(x)=
|
直接写出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性，即可．
解答：解：（1）|x2-1|＜3，0≤x2＜4，-2＜x＜2
x∈（-2，2）；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，
有a2b+ab2＞2ab
，a3+b3＞2ab
，
因为|a2b+ab2-2ab
|-|a3+b3-2ab
|=-(a+b)(a-b)2＜0，
所以|a2b+ab2-2ab
|＜|a3+b3-2ab
|，
即a2b+ab2比a3+b3接近2ab
；
（3）f(x)=
=1-|sinx|，x≠kπ，
k∈Z，f（x）是偶函数，f（x）是周期函数，
最小正周期T=p，函数f（x）的最小值为0，
函数f（x）在区间[kπ-
，kπ)单调递增，
在区间(kπ，kπ+
]单调递减，k∈Z．
x∈（-2，2）；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，
有a2b+ab2＞2ab
| ab |
| ab |
因为|a2b+ab2-2ab
| ab |
| ab |
所以|a2b+ab2-2ab
| ab |
| ab |
即a2b+ab2比a3+b3接近2ab
| ab |
（3）f(x)=
|
k∈Z，f（x）是偶函数，f（x）是周期函数，
最小正周期T=p，函数f（x）的最小值为0，
函数f（x）在区间[kπ-
| π |
| 2 |
在区间(kπ，kπ+
| π |
| 2 |
点评：本题是新定义题目，直线审题是能够解题的根据，新定义问题，往往是结合相关的知识，利用已有的方法求出所求结果．注意转化思想的应用．
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