题目内容
若实数x,y,m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y靠近m.
(Ⅰ)若x+1比-x靠近-1,求实数x的取值范围;
(Ⅱ)①对任意x>0,证明:ln(1+x)比x靠近0;②已知数列{an}的通项公式为an=1+21-n,证明:a1a2a3…an<2e.
(Ⅰ)若x+1比-x靠近-1,求实数x的取值范围;
(Ⅱ)①对任意x>0,证明:ln(1+x)比x靠近0;②已知数列{an}的通项公式为an=1+21-n,证明:a1a2a3…an<2e.
分析:(Ⅰ)根据定义可得不等式,再按照绝对值不等式的解法求解,即可求实数x的取值范围;
(Ⅱ)①由题意,|ln(1+x)-0|-|x-0|=ln(1+x)-x,记f(x)=ln(1+x)-x,利用导数证明f(x)在(0,+∞)内单调递减,即可得到结论;
②利用①的结论,利用放缩法,结合等比数列的求和公式,即可得到结论.
(Ⅱ)①由题意,|ln(1+x)-0|-|x-0|=ln(1+x)-x,记f(x)=ln(1+x)-x,利用导数证明f(x)在(0,+∞)内单调递减,即可得到结论;
②利用①的结论,利用放缩法,结合等比数列的求和公式,即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)依题意,|x+1-(-1)|<|-x-(-1)|,即|x+2|<|x-1|. …(2分)
此不等式同解于 (x+2)2<(x-1)2,解得x<-
. …(4分)
(Ⅱ)①因为x>0,所以 ln(1+x)>0,
所以|ln(1+x)-0|-|x-0|=ln(1+x)-x. …(6分)
记f(x)=ln(1+x)-x,则f(0)=0.
因为f′(x)=
-1=
<0,所以f(x)在(0,+∞)内单调递减.
所以f(x)<f(0)=0,即 ln(1+x)<x.
所以ln(1+x)比x靠近0. …(9分)
②显然21-n>0.由①的结论,得ln(a2a3…an)=lna2+lna3+…+lnan=ln(1+2-1)+ln(1+2-2)+…+ln(1+21-n)<2-1+2-2+…+21-n=
<
=1,
所以a2a3…an<e.
又a1=2,所以a1a2a3…an<2e. …(14分)
此不等式同解于 (x+2)2<(x-1)2,解得x<-
1 |
2 |
(Ⅱ)①因为x>0,所以 ln(1+x)>0,
所以|ln(1+x)-0|-|x-0|=ln(1+x)-x. …(6分)
记f(x)=ln(1+x)-x,则f(0)=0.
因为f′(x)=
1 |
1+x |
-x |
1+x |
所以f(x)<f(0)=0,即 ln(1+x)<x.
所以ln(1+x)比x靠近0. …(9分)
②显然21-n>0.由①的结论,得ln(a2a3…an)=lna2+lna3+…+lnan=ln(1+2-1)+ln(1+2-2)+…+ln(1+21-n)<2-1+2-2+…+21-n=
2-1(1-21-n) |
1-2-1 |
2-1 |
1-2-1 |
所以a2a3…an<e.
又a1=2,所以a1a2a3…an<2e. …(14分)
点评:本题通过新定义来考查绝对值不等式的解法,考查不等式的证明,正确理解新定义是关键.

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