题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,
,
为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点,
,
分别为
的内心、重心,当
轴时,椭圆的离心率为( )
A. B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
结合图像,利用点坐标以及重心性质,得到G点坐标,再由题目条件
轴,得到
点横坐标,然后两次运用角平分线的相关性质得到
的比值,再结合
与
相似,即可求得
点纵坐标,也就是内切圆半径,再利用等面积法建立关于
的关系式,从而求得椭圆离心率.
如图,令点在第一象限(由椭圆对称性,其他位置同理),连接
,显然
点在
上,连接
并延长交
轴于点
,连接
并延长交
轴于点
,
轴,过点
作
垂直于
轴于点
,
设点,
,则
,
因为为
的重心,所以
,
因为轴,所以
点横坐标也为
,
,
因为为
的角平分线,
则有,
又因为,所以可得
,
又由角平分线的性质可得,,而
所以得,
所以,
,
所以,即
,
因为
即,解得
,所以答案为A.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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