题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,
,
为
,
轴上两个动点,点
在直线
上,且满足
,
.
(1)求点的轨迹方程;
(2)记点的轨迹为曲线
,
为曲线
与
正半轴的交点,
、
为曲线
上与
不重合的两点,且直线
与直线
的斜率之积为
,试探究
面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)通过引入参数,分别表示
点的横纵坐标,得到其参数方程,再消去参数得到其轨迹方程.
(2)按照直线斜率是否存在分两种情况进行讨论,对于斜率存在的情况,通过设出
方程
,代入曲线
消去
得到关于
的一元二次方程,利用韦达定理,结合题目条件
求出m的值,从而求出
关于
的表达式,再利用基本不等式即可求出
最大值.
(1)设,
,则
,
故点的轨迹方程为
(2)①当直线的斜率不存在时,
设
则,
∴,不合题意.
②当直线的斜率存在时,设
,
联立方程得
则
,
又
即
将,
代入上式得
∴直线过定点,所以直线MN:
,即
,
则三角形GMN的底MN上的高为,
∴
令即
∴
当且仅当时取等号
故
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