Question

4．已知实数x、y、z不全为零，求证：$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}+yz+{z}^{2}}$+$\sqrt{{z}^{2}+zx+{x}^{2}}$＞$\frac{3}{2}$（x+y+z）．

Answer 1

分析 运用配方法和非负数概念，可得$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{y}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{y}^{2}}$≥|x+$\frac{y}{2}$|≥x+$\frac{y}{2}$，同理可得另两个不等式，累加即可得到原不等式成立．

解答 证明：由$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x+\frac{y}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{y}^{2}}$≥|x+$\frac{y}{2}$|≥x+$\frac{y}{2}$，
$\sqrt{{y}^{2}+yz+{z}^{2}}$=$\sqrt{（y+\frac{z}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{z}^{2}}$≥|y+$\frac{z}{2}$|≥y+$\frac{z}{2}$，
$\sqrt{{z}^{2}+zx+{x}^{2}}$=$\sqrt{（z+\frac{x}{2}）^{2}+\frac{3}{4}{x}^{2}}$≥|z+$\frac{x}{2}$|≥z+$\frac{x}{2}$，
上面三式相加可得，
$\sqrt{{x}^{2}+xy+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}+yz+{z}^{2}}$+$\sqrt{{z}^{2}+zx+{x}^{2}}$≥（x+$\frac{y}{2}$）+（y+$\frac{z}{2}$）+（z+$\frac{x}{2}$）=$\frac{3}{2}$（x+y+z），
由于实数x、y、z不全为零，则原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意非负数概念和累加法思想，考查推理能力，属于中档题．