Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，且函数最大值与最小值间对应的横坐标最小距离为π，其图象经过点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设f（α）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，f（β+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），求sinα，cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）首先，根据已知，得到A=1，$\frac{T}{2}=π$，从而有T=$\frac{2π}{ω}$=2π，然后，将点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）代入，即可得到结果；
（2）根据（1），得到cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，然后，结合同角三角函数基本关系式求解即可．

解答 解：（1）根据题意，得A=1，
∵函数最大值与最小值间对应的横坐标最小距离为π，
∴$\frac{T}{2}=π$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=2π，
∴ω=1．
∴f（x）=sin（x+φ），
将点M（$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}$）代入上述解析式，得．
f（$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{π}{3}$+φ）=$\frac{1}{2}$，0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx．
（2）根据（1），得
f（α）=cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
f（β+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（$β+\frac{π}{2}$）=-sinβ=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
cosβ=$\sqrt{1-si{n}^{2}β}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查函数方程思想、数形结合思想．