题目内容
【题目】函数的定义域为D,若存在闭区间
,使得函数
满足以下两个条件:(1)
在[m,n]上是单调函数;(2)
在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为
的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有( )个.
①②
③
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
【解析】
①②两个函数都是单调递增函数,假设存在“倍值区间”,转化为判断在定义域内是否有两个不等实根;③
在
单调递减,在
单调递增,分两个区间讨论是否存在“倍值区间”.
①是增函数,若存在区间
是函数的“倍值区间”,
则 ,即
有两个实数根,分别是
,
,即存在“倍值区间”
,故①存在;
②是单调递增函数,若存在区间
是函数的“倍值区间”,
则,即
,存在两个不同的实数根,分别是
,
,即存在“倍值区间”,故②存在;
③ ,在
单调递减,在
单调递增,
若在区间单调递减,则
,解得
,不成立,
若在区间 单调递增,则
,即
有两个不同的大于1的正根,
解得:不成立,故③不存在.
存在“倍值区间”的函数是①②.
故选:C.
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