题目内容
【题目】已知函数(其中
)
(1)求的单调减区间;
(2)当时,
恒成立,求
的取值范围;
(3)设
只有两个零点
(
),求
的值.
【答案】(1)单调减区间为(-∞,0)和(0,1);(2);(3)
.
【解析】
(1)先求得函数的定义域,然后求导,利用导数求得函数的单调减区间.(2)构造函数,利用其二阶导数研究它的单调性,由此求得
的取值范围.(3)化简
,利用导数,研究
零点分布的情况,由此求得
的值.
(1)的定义域为{x|x≠0},
=
<0,解得:x<1,
所以,的单调减区间为(-∞,0)和(0,1)
(2)“当时,
恒成立”等价于“当
时,
恒成立”,其中
.构造函数
,则
.记
,则
.
(i)若,则
在
上恒成立,
在
上单调递增,因此当
时,有
,即
,所以
在
上单调递增,因此当
时,有
,即
,故
恒成立,符合题意.
(ii)若,则
在
上恒成立,所以
在
上单调递减,因此当
时,有
,即
,所以
在
上单调递减,因此
时,有
,即
.故
不对任意
恒成立,不符合题意.综上所述,
的取值范围是
.
(3),所以
,依题意知关于
的方程
只有两个实数根
,即关于
的方程
只有两个非零实根
,其中
.故
,或
或
.
(i)若,则
,不符合题意;
(ii)若,比较对应项系数,得
,解得
.不满足
,故不符合题意;
(iii)若,同理可得
,符合题意,此时
.综上所述,
的值为
.
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练习册系列答案
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0 | |||||
0 | 3 | 0 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,并写出函数的解析式(直接写出结果即可);
(2)根据表格中的数据作出在一个周期内的图像;
(3)求函数在区间
上的最大值和最小值.