题目内容
【题目】直线
与椭圆
交于
，
两点，已知
，
，若椭圆的离心率
，又经过点
，
为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)当
时,试问：
的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）定值1.
【解析】
（1）将点
代入椭圆方程，结合双曲线的离心率
列方程，求得
的值，即求得椭圆方程.（2）当直线
斜率不存在时，求得三角形的面积为定值
.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，代入
，化简.然后通过计算三角形的面积，由此判断三角形的面积为定值.
（1）∵
∴
∴椭圆的方程为
（2）①当直线斜率不存在时，即
，
由已知
，得
又
在椭圆上， 所以 
,三角形的面积为定值．
②当直线斜率存在时：设的方程为
必须
即
得到
，
∵
，∴
代入整理得：
所以三角形的面积为定值．
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