Question

7．如图圆锥的轴截面为等腰直角三角形SAB，Q为底面圆周上一点．
（1）如果QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
（2）如果∠AOQ=60°，QB=2$\sqrt{3}$，求圆锥的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，由OB=OQ，QC=CB，利用等腰三角形的性质可得QB⊥OC．利用线面垂直的性质可得：BQ⊥SO．于是QB⊥平面SOC，可得QB⊥OH．即可证明．
（2）由∠AOQ=60°，可得∠BOQ=120°．又QB=2$\sqrt{3}$，可得OQ=$\frac{QC}{sin6{0}^{°}}$=2．在等腰Rt△SAB中，AB=4，可得SA=SB，SO．利用V_圆锥=$\frac{1}{3}π×O{A}^{2}×SO$即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
∵OB=OQ，QC=CB，
∴QB⊥OC，
又SO⊥底面OBQ，
∴BQ⊥SO．
又SO∩OC=O，
∴QB⊥平面SOC．
∴QB⊥OH．
又OH⊥SC，SC∩QB=C，
∴OH⊥平面SBQ．
（2）解：∵∠AOQ=60°，∴∠BOQ=120°．
又QB=2$\sqrt{3}$，∴OQ=$\frac{QC}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
在等腰Rt△SAB中，AB=4，
∴SA=SB=2$\sqrt{2}$．SO=2．
∴V_圆锥=$\frac{1}{3}π×O{A}^{2}×SO$
=$\frac{1}{3}×π×{2}^{2}×2$
=$\frac{8π}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、圆锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．