Question

6．当x∈[-2，2]时，函数f（x）=|x⁵-5x|的最大值为22．

Answer 1

分析 设g（x）=x⁵-5x，判断函数的奇偶性，求函数的导数，利用导数研究函数在[0，2]上的最值，即可得到结论．

解答 解：设g（x）=x⁵-5x，则g（-x）=-x⁵+5x=-（x⁵-5x）=-g（x），
则g（x）为奇函数，
则当0≤x≤2时，g′（x）=5x⁴-5=5（x⁴-1）=5（x²+1）（x²-1），
由g′（x）＞0得x＞1或x＜-1，即此时1＜x≤2时，函数g（x）为增函数，
g′（x）＜0得-1＜x＜1，即此时0≤x＜1时，函数g（x）为减函数，
即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，g（1）=1-5=-4，
∵g（0）=0，g（2）=2⁵-5×2=32-10=22，
∴在[0，2]上的最大值为22，即当0≤x≤2时，-4≤g（x）≤22，
则0≤|g（x）|≤22
∴x∈[-2，2]时，函数f（x）=|x⁵-5x|的最大值为22，
故答案为：22

点评 本题主要考查函数最值的求解，构造函数，利用函数的奇偶性以及函数单调性和导数之间是关系求出函数的最值是解决本题的关键．