题目内容

如图,在三棱锥P -ABC中,点P在平面ABC上的射影D是AC的中点.BC ="2AC=8,AB" =

(I )证明:平面PBC丄平面PAC
(II)若PD =,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.
(I) 通过证明AC⊥BC,进而证明BC⊥平面PAC,从而得证;
(II)

试题分析:
(Ⅰ)证明:在平面上的射影的中点,
PD⊥平面ABC,PD平面PAC
平面PAC⊥平面ABC                                                ……2分
BC=2AC=8,AB=4
,故AC⊥BC                                     ……4分
又平面PAC平面ABC=AC,BC平面ABC
BC⊥平面PAC,又BC平面PBC
平面PBC⊥平面PAC                                              ……6分
(Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系,

则C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,8,0),P(2,0,),
                                      ……8分
设平面PAB的法向量为


设平面PBC的法向量为
,

=0,=1,=-                            ……10分

二面角的平面角的余弦值为                         ……12分
点评:立体几何问题,主要是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,解决此类问题时,要紧扣相应的判定定理和性质定理,要将定理中要求的条件一一列举出来,缺一不可,用空间向量解决立体几何问题时,要仔细运算,适当转化.
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