题目内容
(本题满分14分)
已知函数处取得极值为2.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若图象上的任意一点,直线l与的图象相切于点P,求直线l的斜率的取值范围.
已知函数处取得极值为2.
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)若图象上的任意一点,直线l与的图象相切于点P,求直线l的斜率的取值范围.
(Ⅰ) .(Ⅱ).
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用已知条件得到参数关系式得到解析式,以及根据函数的递增性质,得到参数的范围。以及直线与曲线相切的直线斜率的范围。
(1)根据函数处取得极值为2.,那么求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,则可知导函数在给定区间恒大于等于零,分离参数的思想得到,实数m的取值范围;
(Ⅲ)因为图象上的任意一点,直线l与的图象相切于点P,利用导数的几何意义得到,直线l的斜率的取值范围.
解:(Ⅰ)已知函数,∴
又函数处取值极值2, ∴
即 ∴ . …………………… 5分
(Ⅱ)∵,得
所以的单调增区间为[,1].
因函数上单调递增, 则有,
解得上为增函数. ………………… 9分
(Ⅲ)∵,∴.
直线l的斜率,
即, 则
从而得k的取值范围是. ……………………… 14分
(1)根据函数处取得极值为2.,那么求函数的解析式;
(Ⅱ)若函数在区间上为增函数,则可知导函数在给定区间恒大于等于零,分离参数的思想得到,实数m的取值范围;
(Ⅲ)因为图象上的任意一点,直线l与的图象相切于点P,利用导数的几何意义得到,直线l的斜率的取值范围.
解:(Ⅰ)已知函数,∴
又函数处取值极值2, ∴
即 ∴ . …………………… 5分
(Ⅱ)∵,得
所以的单调增区间为[,1].
因函数上单调递增, 则有,
解得上为增函数. ………………… 9分
(Ⅲ)∵,∴.
直线l的斜率,
即, 则
从而得k的取值范围是. ……………………… 14分
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