题目内容
【题目】已知为等差数列,
为等比数列,
.
(Ⅰ)求和
的通项公式;
(Ⅱ)记的前
项和为
,求证:
;
(Ⅲ)对任意的正整数,设
求数列
的前
项和.
【答案】(Ⅰ),
;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比,然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和,然后利用作差法证明即可;
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式,然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和
的值,据此进一步计算数列
的前2n项和即可.
(Ⅰ)设等差数列的公差为
,等比数列
的公比为q.
由,
,可得d=1.
从而的通项公式为
.
由,
又q≠0,可得,解得q=2,
从而的通项公式为
.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得,
故,
,
从而,
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时,,
当n为偶数时,,
对任意的正整数n,有,
和 ①
由①得 ②
由①②得,
由于,
从而得:.
因此,.
所以,数列的前2n项和为
.
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满意程度(分数) | |||||
人数 |
(2)求市民投票满意程度的平均分(各分数段取中点值);
(3)若满意程度在的5人中恰有2位为女性,座谈会将从这5位市民中任选两位发言,求男性甲或女性乙被选中的概率.