Question

（本小题10分）已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）如果当时，，求实数的取值范围；
（3）记函数，若在区间上不单调, 求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）①若，则，所以在上单调递增
②若，则由，得，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；
（2） ；（3）   .

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。解决不等式的恒成立问题，和函数的单调性的逆向运用的综合试题。
（1）首先求解导数，根据的分子为含有参数的二次函数，那么结合二次不等式进行分情况讨论得到单调区间。
（2）利用当时，，结合上一问的单调性，确定最值，解得a的范围。
（3）利用等价转化思想在区间上不单调，然后分离变量求解参数的取值范围。
解：（1）的定义域为，
                     ……2分
①若，则，所以在上单调递增
②若，则由，得，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；                                               ……4分
（2）由（1）知：
①若时，在上单调递增，所以，不合；
②若时， 在上单调递增，在上单调递减；所以，又，不合；
③若时， 在上单调递减；所以，
综上所述，                                             …………7分
（3）

在区间上不单调
变量分离得， 
，求得的值域为     ……10分