Question

19．设函数f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x，
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B+C）=$\frac{3}{2}$，a=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简函数，利用三角函数的性质求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值时x的集合；
（Ⅱ）利用f（B+C）=$\frac{3}{2}$，求出A，根据a=1，利用余弦定理，结合基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x-$\frac{4π}{3}$）+2cos²x=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1+cos2x=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴f（x）的最大值为2，此时2x+$\frac{π}{3}$=2kπ，∴x=kπ-$\frac{π}{6}$，
∴使f（x）取最大值时x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
（Ⅱ）∵f（B+C）=$\frac{3}{2}$，
∴cos[2（B+C）+$\frac{π}{3}$]+1=$\frac{3}{2}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵a=1，
∴1=b²+c²-2bc•$\frac{1}{2}$≥2bc-bc，
∴bc≤1，
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角函数的化简，考查余弦定理，三角形的面积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．