题目内容
【题目】已知椭圆的右焦点为
,
是椭圆
上一点,
轴,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与椭圆
交于
、
两点,线段
的中点为
,
为坐标原点,且
,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)设椭圆的焦距为
,可得出点
在椭圆
上,将这个点的坐标代入椭圆
的方程可得出
,结合
可求出
的值,从而可得出椭圆
的标准方程;
(2)分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论,在
轴时,可得出
,从而求出
的面积;在直线
斜率存在时,设直线
的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与椭圆方程联立,利用韦达定理结合
,得出
,计算出
与
的高,可得出
面积的表达式,然后可利用二次函数的基本性质求出
面积的最大值.
(1)设椭圆的焦距为
,由题知,点
,
,
则有,
,又
,
,
,
因此,椭圆的标准方程为
;
(2)当轴时,
位于
轴上,且
,
由可得
,此时
;
当不垂直
轴时,设直线
的方程为
,与椭圆交于
,
,
由,得
.
,
,从而
已知,可得
.
.
设到直线
的距离为
,则
,
.
将代入化简得
.
令,
则.
当且仅当时取等号,此时
的面积最大,最大值为
.
综上:的面积最大,最大值为
.
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练习册系列答案
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月均用水量分组 | 频数 | 频率 |
12 | ||
40 | ||
0.18 | ||
6 | ||
合计 | 100 | 1.00 |
(1)请完成该频率分布表,并画出相对应的频率分布直方图.
(2)样本的中位数是多少?
(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水,若该乡共有1200户,请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨.