题目内容
【题目】设函数f(x)= ,若方程f(f(x))=a(a>0)恰有两个不相等的实根x1 , x2 , 则e
e
的最大值为( )
A.
B.2(ln2﹣1)
C.
D.ln2﹣1
【答案】C
【解析】解:令g(x)=f(f(x))= ,
∵y=f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,
∴g(x)=f(f(x))在(﹣∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增.
做出g(x)=f(f(x))的函数图象如图所示:
∵方程f(f(x))=a(a>0)恰有两个不相等的实根x1,x2,
不妨设x1<x2,则x1≤﹣1,x2≥0,且f(x1)=f(x2),即x12=e .
∴e e
=e
x12,
令h(x1)=e x12,则h′(x1)=e
(x12+2x1)=e
x1(x1+2),
∴当x1<﹣2时,h′(x1)>0,当﹣2<x1<﹣1时,h′(x1)<0,
∴h(x1)在(﹣∞,﹣2)上单调递增,在(﹣2,﹣1)上单调递减,
∴当x1=﹣2时,h(x1)取得最大值h(﹣2)= .
故选C.
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