Question

【题目】若函数 ， .
（Ⅰ）求 的单调区间和极值；
（Ⅱ）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ， 得
.
由 解得 . 与 在区间 上的情况如下：

所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
在 处取得极小值 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在区间 上的最小值为 .
因为 存在零点，所以 ，从而 .
当 时， 在区间 上单调递减，且 ，
所以 是 在区间 上的唯一零点.
当 时， 在区间 上单调递减，且 ， ，
所以 在区间 上仅有一个零点.
综上可知，若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点
【解析】（1）根据题目中所给的条件的特点，利用原函数的导函数f'（x）与0的大小关系,求得函数的单调区间并能求出极值；
（2）利用极值求出最值，再利用最值讨论存在零点的情况．导数和函数的单调性的关系：
（i）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（II）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．