题目内容

3.设二项式${({x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}})^6}$(a>0)的展开式中的x3系数为A,常数项为B,若B=4A,则a的值是2.

分析 首先写出二项展开式的通项,化简后按照要求确定字母的指数,得到特征项.

解答 解:二项式${({x-\frac{a}{{\sqrt{x}}}})^6}$(a>0)的展开式,通项为${C}_{6}^{k}{x}^{6-k}(-\frac{a}{\sqrt{x}})^{k}={C}_{6}^{k}(-a)^{k}{x}^{6-\frac{3}{2}k}$,
令6-$\frac{3}{2}k$=3,得到k=2,所以x3系数为A=${C}_{6}^{2}{a}^{2}$=15a2
令6-$\frac{3}{2}$k=0,k=4,所以常数项为B=${C}_{6}^{4}(-a)^{4}$=15a4
又B=4A,所以15a4=4×15a2,a>0,解得a=2;
故答案为:2

点评 本题考查了二项展开式的特征项的求法,关键是正确写出通项.

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