题目内容
【题目】已知椭圆 过点(0,﹣2),F1 , F2分别是其左、右焦点,O为坐标原点,点P是椭圆上一点,PF1⊥x轴,且△OPF1的面积为
,
(1)求椭圆E的离心率和方程;
(2)设A,B是椭圆上两动点,若直线AB的斜率为 ,求△OAB面积的最大值.
【答案】
(1)解:由题意可得:b=2.由PF1⊥x轴,把x=c代入题意可得: +
=1,解得y=
.
∵△OPF1的面积为 ,∴
=
,可得:
=
=e,又a2=b2+c2,
联立解得a2=8,c=2.
∴椭圆E的方程为: =1
(2)解:设直线AB的方程为:y=﹣ x+t,与椭圆方程联立可得:9x2﹣8tx+16t2﹣64=0.
△=64t2﹣36(16t2﹣64)>0,解得 <t<
.
∴x1+x2= ,x1x2=
,
∴|AB|= =
=
.
点O到直线AB的距离d= .
∴S△OAB= |AB|d=
≤
×
=2
.当且仅当t=
时取等号,满足△>0.
∴△OAB面积的最大值为2
【解析】(1)由题意可得:b=2.由PF1⊥x轴,把x=c代入题意可得: +
=1,解得y=
.可得
=
,可得:
=
=e,又a2=b2+c2,联立解得a2,c.即可得出.(2)设直线AB的方程为:y=﹣
x+t,与椭圆方程联立可得:9x2﹣8tx+16t2﹣64=0.△>0,利用根与系数的关系可得:|AB|=
.点O到直线AB的距离d=
.可得S△OAB=
|AB|d,利用基本不等式的性质即可得出.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用椭圆的概念的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平面内与两个定点,
的距离之和等于常数(大于
)的点的轨迹称为椭圆,这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛,并从中抽取72名学生进行成绩分析,所得学生的及格情况统计如表:
物理及格 | 物理不及格 | 合计 | |
数学及格 | 28 | 8 | 36 |
数学不及格 | 16 | 20 | 36 |
合计 | 44 | 28 | 72 |
(1)根据表中数据,判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;
(2)若以抽取样本的频率为概率,现在该校高二理科学生中,从数学及格的学生中随机抽取3人,记X为这3人中物理不及格的人数,从数学不及格学生中随机抽取2人,记Y为这2人中物理不及格的人数,记ξ=|X﹣Y|,求ξ的分布列及数学期望. 附:x2= .
P(X2≥k) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |