题目内容
【题目】某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛,并从中抽取72名学生进行成绩分析,所得学生的及格情况统计如表:
物理及格 | 物理不及格 | 合计 | |
数学及格 | 28 | 8 | 36 |
数学不及格 | 16 | 20 | 36 |
合计 | 44 | 28 | 72 |
(1)根据表中数据,判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”;
(2)若以抽取样本的频率为概率,现在该校高二理科学生中,从数学及格的学生中随机抽取3人,记X为这3人中物理不及格的人数,从数学不及格学生中随机抽取2人,记Y为这2人中物理不及格的人数,记ξ=|X﹣Y|,求ξ的分布列及数学期望. 附:x2= .
P(X2≥k) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
【答案】
(1)解:根据题意,得:
=
≈12.587,
∵12.587>6.635,
∴有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”
(2)解:从数学及格的学生任抽取一人,抽到物理不及格的学生的频率为 =
,
从数学不及格的学生任取一人,抽到物理不及格的学生的频率为 =
,
X可能的取值为0,1,2,3,Y可能的取值为0,1,2,
ξ的可能取值为0,1,2,3,
P(ξ=0)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)
=
+
+
=
,
P(ξ=1)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)= +
+
+
+ =
,
P(ξ=2)=P(X=0)P(Y=2)+P(X=2)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)
= +
+
=
,
P(ξ=3)=P(X=3)P(Y=0)= =
,
∴ξ的分布列为:
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | | | | |
Eξ= +3×
=
【解析】(1)根据题意,求出X2= ≈12.587>6.635,从而有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关”.(2)从数学及格的学生任抽取一人,抽到物理不及格的学生的频率为
=
,从数学不及格的学生任取一人,抽到物理不及格的学生的频率为
=
,X可能的取值为0,1,2,3,Y可能的取值为0,1,2,ξ的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ.
【考点精析】利用离散型随机变量及其分布列对题目进行判断即可得到答案,需要熟知在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.
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