题目内容

【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2 , 上、下顶点分别为B2、B1 , O为坐标原点,四边形A1B1A2B2的面积为4,且该四边形内切圆的方程为x2+y2=
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若M、N是椭圆C上的两个不同的动点,直线OM、ON的斜率之积等于﹣ ,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)∵四边形A1B1A2B2的面积为4,又可知四边形A1B1A2B2为菱形,

,即ab=2 ①

由题意可得直线A2B2方程为: ,即bx+ay﹣ab=0,

∵四边形A1B1A2B2内切圆方程为

∴圆心O到直线A2B2的距离为 ,即

由①②解得:a=2,b=1,

∴椭圆C的方程为:

(Ⅱ)若直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),

得:(1+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣1)=0∵直线l与椭圆C相交于M,N两个不同的点,

∴△=64m2k2﹣16(1+4k2)(m2﹣1)>0得:1+4k2﹣m2>0③

由韦达定理:

∵直线OM,ON的斜率之积等于

∴2m2=4k2+1满足③…(9分)

又O到直线MN的距离为

所以△OMN的面积

若直线MN的斜率不存在,M,N关于x轴对称

设M(x1,y1),N(x1,﹣y1),则

又∵M在椭圆上, ,∴

所以△OMN的面积S= = =1.

综上可知,△OMN的面积为定值1


【解析】(Ⅰ)利用四边形A1B1A2B2为菱形,求出ab=2,圆心O到直线A2B2的距离为 ,列出方程,求出a,b,即可得到椭圆方程.(Ⅱ)若直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),由 得:(1+4k2)x2+8mkx+4(m2﹣1)=0,利用韦达定理以及判别式,通过直线OM,ON的斜率之积等于 ,求出三角形的面积,若直线MN的斜率不存在,M,N关于x轴对称,设M(x1,y1),N(x1,﹣y1),求解三角形的面积即可.

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