题目内容
19．求证：（1）对任意的x∈R，都有ex≥x+1；
（2）对任意的∈（0，+∞），都有$\frac{x-1}{x}$≤lnx．
分析 构造函数，确定函数的单调性，求出函数的最小值，即可证明结论．
解答 证明：（1）构造函数f（x）=ex-x-1，则f′（x）=ex-1，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）=0，
∴ex≥x+1；
（2）构造函数g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$，则g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（1）=0，
∴lnx-$\frac{x-1}{x}$≥0，
∴对任意的x∈（0，+∞），都有$\frac{x-1}{x}$≤lnx．
点评 本题考查不等式的证明，考查导数知识的综合运用，正确构造函数是关键．
练习册系列答案
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9．若实数a，b，c，d满足$\frac{{a}^{2}-2lna}{b}$=$\frac{3c-4}{d}$=1，则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的最小值为（ ）
| A． | $\frac{（1-ln2）\sqrt{10}}{5}$ | B． | $\frac{（1+ln2）\sqrt{10}}{5}$ | C． | $\frac{（3-ln2）\sqrt{10}}{5}$ | D． | $\frac{（3+ln2）\sqrt{10}}{5}$ |
10．YZ软件公司研发了一种新学习辅助软件，该软件上市后，前5个月在S中学的销售情况如下：
（1）设y关于x的回归直线方程为$\widehat{y}$=b$\widehat{x}$+a，现根据表中数据已经正确计算出了b的值为1.6，试求a的值，并估计该公司第6个月在S中学的销售量（计算结果精确到1）；
（2）软件上市后，公司的研发团队对软件进行了修改和升级：所有第一个月购买的软件，YZ公司都免费升级，第二个月及以后购买的软件无需升级．S中学的A班的两个同学在前两个月分别向YZ公司购买了该软件1套，求这两个同学中有同学所购软件需升级的概率．
| 第x个月 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 售出软件套数y（套） | 2 | 3 | 5 | 7 | 8 |
（2）软件上市后，公司的研发团队对软件进行了修改和升级：所有第一个月购买的软件，YZ公司都免费升级，第二个月及以后购买的软件无需升级．S中学的A班的两个同学在前两个月分别向YZ公司购买了该软件1套，求这两个同学中有同学所购软件需升级的概率．
8．在等比数列{an}中，若a3=2，a5=16，则a4=（ ）
| A． | ±4$\sqrt{2}$ | B． | -4$\sqrt{2}$ | C． | 4$\sqrt{2}$ | D． | 4 |
9．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是-（ ）
| A． | m?α，n∥m⇒n∥α | B． | m?α，n⊥m⇒n⊥α | ||
| C． | n?β，n⊥α⇒α⊥β | D． | m?α，m∥β，l?β，l∥α⇒α∥β |