题目内容

11.函数f(x)=$\sqrt{{x}^{2}-6x+13}$+$\sqrt{{x}^{2}+4x+5}$的最小值为$\sqrt{34}$.

分析 由配方可得函数表示f(x)表示P(x,0)到两点A(3,2),B(-2,1)的距离之和.作出点A关于x轴的对称点A'(3,-2),连接A'B,交x轴于P,运用两点之间线段最短,由两点的距离公式计算即可得到.

解答 解:函数f(x)=$\sqrt{{x}^{2}-6x+13}$+$\sqrt{{x}^{2}+4x+5}$
=$\sqrt{(x-3)^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{(x+2)^{2}+{1}^{2}}$,
设点P(x,0),A(3,2),B(-2,1),
则f(x)表示P到两点A,B的距离之和.
作出点A关于x轴的对称点A'(3,-2),
连接A'B,交x轴于P,
则||PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=$\sqrt{25+9}$=$\sqrt{34}$,
则当A,P,B'三点共线,取得最小值$\sqrt{34}$.

点评 本题考查函数的最值的求法,注意运用几何方法:对称法,两点间的距离公式,属于中档题.

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