题目内容
4.设函数f(x)的定义域为R,若存在常数m>0,使|f(x)|≤m|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为F函数,给出下列函数:①f(x)=0;②f(x)=x2;③f(x)=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$;④f(x)=$\sqrt{2}$(sinx+cosx),其中是F函数的序号为①③.分析 本题考查阅读题意的能力,根据F函数的定义进行判定:对于①f(x)=0,显然对任意常数m>0,均成立;
对于②,f(x)=x2,|f(x)|<m|x|,显然不成立;
对于③,f(x)=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$,|f(x)|=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$|x|≤$\frac{4}{3}$|x|,
故对任意的m>$\frac{4}{3}$,都有|f(x)|<m|x|成立;从而可得到正确结论;
对于④,f(x)=2sin(x+$\frac{π}{4}$),x=0时,|f(x)|<m|x|不成立.
解答 解:对于①f(x)=0,显然对任意常数m>0,均成立,故f(x)为F函数;
对于②,|f(x)|<m|x|,显然不成立,故其不是F函数;
对于③,f(x)=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$,|f(x)|=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$|x|≤$\frac{4}{3}$|x|,
故对任意的m>$\frac{4}{3}$,都有|f(x)|<m|x|成立;故其是F函数;
对于④,f(x)=$\sqrt{2}$(sinx+cosx)=2sin(x+$\frac{π}{4}$),x=0时,|f(x)|<m|x|不成立.
由于x=0时,|f(x)|<m|x|不成立,故不是F函数.
故答案为:①③.
点评 本题的考点是函数恒成立问题,主要考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则,是函数知识的给定应用题,综合性较强,做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明,考查学生的阅读理解能力与分析问题解决问题的能力,
练习册系列答案
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