题目内容
【题目】己知函数,
.
(I)求函数上零点的个数;
(II)设,若函数
在
上是增函数.
求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)零点个数为 (II)
的取值范围是
【解析】试题分析:(1)先求得,
时,
恒成立,可证明
时,
,可得
在
上单调递减,根据零点定理可得结果;(2)化简
为分段函数
,利用导数研究函数的单调性,讨论两种情况,分别分离参数求最值即可求得实数
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)函数
,
求导,得,
当时,
恒成立,
当时,
,
∴
,
∴在
上恒成立,故
在
上单调递减.
又,
,
曲线在[1,2]上连续不间断,
∴由函数的零点存在性定理及其单调性知,唯一的∈(1,2),使
,
所以,函数在
上零点的个数为1.
(II)由(Ⅰ)知:当时,
>0,当
时,
<0.
∴当时,
=
求导,得
由于函数在
上是增函数, 故
在
,
上恒成立.
①当时,
≥0在
上恒成立,
即在
上恒成立,
记,
,则
,,
所以, 在
上单调递减,
在
上单调递增,
∴min=
极小值=
,
故“在
上恒成立”,只需
,即
.
②当时,
,
当时,
在
上恒成立,
综合①②知,当时,函数
在
上是增函数.
故实数的取值范围是
.
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