Question

11．设x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 3-2$\sqrt{2}$
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数求得a+2b=1，然后利用基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

化目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）为$y=-\frac{a}{2b}x+\frac{z}{2b}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得B（1，1），
由图可知，当直线$y=-\frac{a}{2b}x+\frac{z}{2b}$过B时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+2b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+2b）=3+$\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}$$≥3+2\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{b}}=3+2\sqrt{2}$．
当且仅当$a=\sqrt{2}b$时上式等号成立．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了基本不等式求最值，是中档题．